Які таємниці приховує модуль?

Ми уміємо відкладати раціональні числа на координатній прямій. Положення числа на координатній прямій характеризується напрямком та відстанню від початку координат. Напрямок визначає знак числа, а відстань – абсолютну величину або модуль числа.

       Модулем числа називається відстань на координатній прямій від числа до початку координат.

Кожній не рівній нулю відстані від початку координат на координатній прямій відповідає два числа – одне додатне, друге від’ємне. Ці числа мають одинакові модулі і різні знаки.

Модуль, як відстань, є завжди додатнім числом або нулем. Тому з двох протилежних чисел завжди одне, а саме додатне або нуль, співпадає з модулем.

Отже, коли число а додатне або нуль, то |а|=а. Коли число а від’ємне, то протилежне йому число –а буде додатнім і, значить, саме воно співпадає з модулем: |а|= –а.

Таким чином,

модулем числа називається саме це число, коли воно додатне або нуль, і число, протилежне даному, коли дане число від’ємне:

     

Серед задач, які зустрічаються на уроках математики, часто є задачі, для розв’язання яких потрібно не лише знання шкільної програми, а й творче застосування цих знань, зокрема при розв’язуванні рівнянь з модулями.

Рівняння, що мають невідоме під знаком модуля, називаються рівняннями з модулями.

Наприклад:

–3|x|+5=–16,

-3|x|=–16 – 5,

–3|x|=–21,

|x|=7.

Звідси  x=7  або x= –7.

При розв’язуванні рівнянь переносять  елементи з одної частини в іншу, ділять та множать  обидві частин рівняння на одне й те ж число, що не дорівнює нулеві. Це дає змогу розв’язувати більш складні рівняння з модулем, що вимагають перевірки. До того ж, перевірка є хорошим тренуванням у виконанні дій над числами з різними знаками та приведенні подібних членів.

Крім того,  це – перша зустріч з перевіркою в рівнянні, яка відкидає зайві корені. Це дозволяє показує, що перевірка призначена  для виявлення помилок, зроблених в арифметичних діях.

Перевірка – це метод вилучення зайвих коренів.

В таких рівняннях перевірка є невід’ємною частиною знаходження його розв’язків.

У багатьох випадках для того, щоб розв'язати рівняння зі знаком модуля, достатньо скористатись означенням модуля

  Наприклад:  Розв’язати рівняння:  –2+x+|x|=3+3x.

Розв’язок. Маємо:

|x|=3+3x–x+2;

|x|=5+2x;

а) x= 5+2x;  x= –5.

б) x= –5–2x;  3x= –5;  .

Перевірка. а) x= –5. Ліва частина: –2 –5 +|–5|= –7+5= –2.

Права частина: 3+3(–5)=3–15=–12.

Порівняємо: –2¹–12. Отже, х= –5 –не корінь.

Користуючись геометричним змістом модуля можна розв'язувати найпростіші рівняння зі знаком модуля.

Наприклад: Розв'язати рівняння |х +1| +|х –5| = 6.

Розв'язання. Дане рівняння рівносильне такому: |х –(–1)| +|х –5| = 6. Останнє рівняння означає, що на координатній прямій треба знайти координати точок, сума відстаней від яких до точок з координатами (–1) та 5 дорівнює 6. Оскільки відстань між точками (–1) та 5 дорівнює 6, то шуканими координатами будуть координати точок, які лежать між точками координатами (–1) та 5. Отже, дане рівняння має безліч розв'язків, причому розв'язками будуть координати всіх точок, які належать проміжку [–1;5].

Відповідь: х[–1;5].

У багатьох випадках рівняння досить легко розв'язується, якщо побувати графіки лівої та правої частини. Побудови графіків функцій,  в яких змінна знаходиться під знаком модуля також може здійснюватись різними способами: за означенням або за теоремою.

Наприклад:  Побудувати графік функції у = |х + 2| – |х –1|.

Розв'язання.   У   цьому  випадку  скористаємось  означенням   модуля   і отримаємо, що у = –3, якщо х< –2; у =2х+1, якщо  [– 2;1]; у =3, якщо x>1. Графік матиме вигляд:

Недоліком графічного методу розв’язання є те, що далеко не завжди точний розв'язок можна побачити на рисунку, але і в цьому випадку рисунок може підказати хоча б структуру розв'язку.