Що таке задача

       Вирішення задач – це робота декілька незвичайна, а саме розумова робота. А щоб навчитися якій-небудь роботі, потрібно завчасно добре вивчити той матеріал, над яким доведеться працювати. Щоб навчитися  вирішувати задачі, потрібно розібратися в тому, що вони собою представляють, як вони влаштовані, із яких складових частин складаються. Задача представляє собою вимогу або питання, на які треба знайти відповідь, опираючись та враховуючи ті умови, які вказані в задачі. Приступаючи до розв’язку якої-небудь задачі, потрібно її уважно вивчити, встановити, в чому полягає її вимога. Які умови, виходячи із яких потрібно вирішувати задачу.

 Умови і вимоги задачі

       Отримав задачу, ми її уважно читаємо. Формулювання будь-якої задачі складається із декількох тверджень і вимог. Твердження задачі називаються умовами задачі. (Іноді умовою за дачі називають усе формулювання задачі, тобто всі умови та вимоги разом.) Перше, що треба зробити при аналізі задачі,-  це розділити формулювання задачі на умови та вимоги. Зазвичай в задачі не одна умова, а декілька незалежних елементарних умов; вимог в задачі також може бути не однієї.

Чи може здивувати задача

Уміння розв’язувати задачі є одним з основних показників рівня математичного розвитку глибини засвоєння навчального матеріалу. Розв’язати математичну задачу – це значить знайти таку послідовність спільних положень математики (визначень, аксіом, теорем, правил, законів, формул), застосовуючи які до умов задачі або до їх слідств, отримаємо те, що вимагається в задачі, - її відповідь.

Із яких етапів складається процес розв’язку задач?

Весь процес розв’язку задачі поділено на вісім етапів:

1-й етап – аналіз задачі;

2-й етап – схематичний запис задачі;

3-й етап – пошук способу розв’язку задачі;

4-й етап – здійснення розв’язку задачі;

5-й етап – перевірка розв’язку;

6-й етап – дослідження задачі;

7-й етап – формулювання відповіді задачі;

8-й етап – аналіз розв’язку задачі.

Отримавши задачу, перше, що потрібно зробити – це розібратися в тому, що це за задача, які її умови, у чому полягають її вимоги, тобто провести аналіз задачі. Цей аналіз і складатиме перший етап процесу розв’язку задачі.

          Цей аналіз треба якось оформити, записати. Для цього використовуються різного роду схематичні записи задач, побудова яких складає другий етап. 

           Аналіз задачі та побудова її схематичного запису необхідного головним чином для того, щоб знайти спосіб розв’язку даної задачі. Пошук цього способу – третій етап.

            Коли спосіб розв’язку задачі знайдено, його потрібно здійснити - це буде вже четвертий етап процесу розв’язку – етап здійснення розв’язку.

            Після того як розв’язок здійснено, необхідно впевнитися, що цей розв’язок правильний, що він задовольняє всі вимоги задачі. Для цього проводять перевірку розв’язку, що є – п′ятий етап процесу розв’язку.

            При розв’язку задач, окрім перевірки, необхідно ще провести дослідження задачі, а саме встановити, при яких умовах задача має розв’язок і при тому, скільки різних розв’язків в кожному окремому випадку. Все це є шостий етап.

            Впевнившись у вірності розв’язку і, якщо треба, провести дослідження задачі, необхідно чітко сформулювати відповідь задачі – це сьомий етап.

            Нарешті потрібно також провести аналіз виконаного розв’язку, вияснити, чи немає іншого, більш раціонального способу розв’язку, які висновки можна зробити з цього розв’язку. Все це складає останній восьмий етап.

mal'� X < p O` h�_ 'color:purple'>восьмий етап.

Основні правила розв'язування рівнянь

Основні правила розв'язування рівнянь

Правило 1: Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок (якщо а + х = b, то x = b - a).

Приклади:

а) 7 + х = 23; х = 23 - 7; х = 16;

б) х + 0,2 = 1; х = 1 - 0,2; х = 0,8;

в) 1,8 + х = 0,5; х = 0,5 - 1,8; х = -1,3;

г) -3 + х = -2; х = -2 - (-3); х = -2 + 3; х = 1.

Правило 2: Щоб знайти невідоме зменшуване, треба додати від'ємник і різницю (якщо x - a = b, то x = a + b).

Приклади:

а) х - 8 = 5; х = 8 + 5; х = 13;

б) х - 1,4 = -6; х = 1,4 + (-6); х = -4,6;

в) х - (-2) = -1; х = -2 + (-1); х = -3.

Правило 3: Щоб знайти невідомий від'ємник, треба від зменшуваного відняти різницю (якщо a - x = b, то x = a - b).

Приклади:

а) 9 - х = 1,3; х = 9 - 1,3; х = 7,7;

б) -3 - х = -7; х = -3 - (07); х = 4.

Правило 4: Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник (якщо ax = b, то x = b : a).

Приклади:

а) 0,2х = 6,

х = 6 : 0,2,

х = 30;

б) 3x=0,4

x=0,4/3

x=2/15.

Правило 5: Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на дільник (якщо x : a = b, то x = ab).

Приклади:

а) х : 0,3 = 4,

х = 4 • 0,3,

х = 1,2;

Правило 6: Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку (якщо а : х = b, то x = a : b, або якщо).

Приклад:

а) 0,8 : х = -5,

х = 0,8 : (-5),

х = -0,16.

Інші правила розв'язування рівнянь

Правило 1: Корені рівняння не зміняться, якщо будь-який доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак.

Приклади:

а) 3х - 8 х - 14,

3х - х = -14 + 8,

2х = -6,

х = -6 : 2,

х = -3;

б) -2(3х + 4) = -10 - 8х,

-6х - 8 = -10 - 8х,

-6х + 8х = -10 + 8,

2х = -2,

х = -1.

Правило 2: Корені рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити чи поділити на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Приклади:

а) 10х - 120 = 30х - 40.

Поділимо кожен доданок обидвох частин рівняння на 10.

х - 12 = 3х - 4,

-2х = 8,

х = -4

Які таємниці приховує модуль?

Ми уміємо відкладати раціональні числа на координатній прямій. Положення числа на координатній прямій характеризується напрямком та відстанню від початку координат. Напрямок визначає знак числа, а відстань – абсолютну величину або модуль числа.

       Модулем числа називається відстань на координатній прямій від числа до початку координат.

Кожній не рівній нулю відстані від початку координат на координатній прямій відповідає два числа – одне додатне, друге від’ємне. Ці числа мають одинакові модулі і різні знаки.

Модуль, як відстань, є завжди додатнім числом або нулем. Тому з двох протилежних чисел завжди одне, а саме додатне або нуль, співпадає з модулем.

Отже, коли число а додатне або нуль, то |а|=а. Коли число а від’ємне, то протилежне йому число –а буде додатнім і, значить, саме воно співпадає з модулем: |а|= –а.

Таким чином,

модулем числа називається саме це число, коли воно додатне або нуль, і число, протилежне даному, коли дане число від’ємне:

     

Серед задач, які зустрічаються на уроках математики, часто є задачі, для розв’язання яких потрібно не лише знання шкільної програми, а й творче застосування цих знань, зокрема при розв’язуванні рівнянь з модулями.

Рівняння, що мають невідоме під знаком модуля, називаються рівняннями з модулями.

Наприклад:

–3|x|+5=–16,

-3|x|=–16 – 5,

–3|x|=–21,

|x|=7.

Звідси  x=7  або x= –7.

При розв’язуванні рівнянь переносять  елементи з одної частини в іншу, ділять та множать  обидві частин рівняння на одне й те ж число, що не дорівнює нулеві. Це дає змогу розв’язувати більш складні рівняння з модулем, що вимагають перевірки. До того ж, перевірка є хорошим тренуванням у виконанні дій над числами з різними знаками та приведенні подібних членів.

Крім того,  це – перша зустріч з перевіркою в рівнянні, яка відкидає зайві корені. Це дозволяє показує, що перевірка призначена  для виявлення помилок, зроблених в арифметичних діях.

Перевірка – це метод вилучення зайвих коренів.

В таких рівняннях перевірка є невід’ємною частиною знаходження його розв’язків.

У багатьох випадках для того, щоб розв'язати рівняння зі знаком модуля, достатньо скористатись означенням модуля

  Наприклад:  Розв’язати рівняння:  –2+x+|x|=3+3x.

Розв’язок. Маємо:

|x|=3+3x–x+2;

|x|=5+2x;

а) x= 5+2x;  x= –5.

б) x= –5–2x;  3x= –5;  .

Перевірка. а) x= –5. Ліва частина: –2 –5 +|–5|= –7+5= –2.

Права частина: 3+3(–5)=3–15=–12.

Порівняємо: –2¹–12. Отже, х= –5 –не корінь.

Користуючись геометричним змістом модуля можна розв'язувати найпростіші рівняння зі знаком модуля.

Наприклад: Розв'язати рівняння |х +1| +|х –5| = 6.

Розв'язання. Дане рівняння рівносильне такому: |х –(–1)| +|х –5| = 6. Останнє рівняння означає, що на координатній прямій треба знайти координати точок, сума відстаней від яких до точок з координатами (–1) та 5 дорівнює 6. Оскільки відстань між точками (–1) та 5 дорівнює 6, то шуканими координатами будуть координати точок, які лежать між точками координатами (–1) та 5. Отже, дане рівняння має безліч розв'язків, причому розв'язками будуть координати всіх точок, які належать проміжку [–1;5].

Відповідь: х[–1;5].

У багатьох випадках рівняння досить легко розв'язується, якщо побувати графіки лівої та правої частини. Побудови графіків функцій,  в яких змінна знаходиться під знаком модуля також може здійснюватись різними способами: за означенням або за теоремою.

Наприклад:  Побудувати графік функції у = |х + 2| – |х –1|.

Розв'язання.   У   цьому  випадку  скористаємось  означенням   модуля   і отримаємо, що у = –3, якщо х< –2; у =2х+1, якщо  [– 2;1]; у =3, якщо x>1. Графік матиме вигляд:

Недоліком графічного методу розв’язання є те, що далеко не завжди точний розв'язок можна побачити на рисунку, але і в цьому випадку рисунок може підказати хоча б структуру розв'язку. 

Що ми знаємо про його величність Рівняння?

Рівняння - це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами.

Невідомі числа в рівнянні називають змінними (змінна - variable).

Змінні найчастіше позначають буквами x,y,z, хоч можна позначити їх і іншими буквами.

Наприклад : 5x=30, 3a=18.

Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем (корінь - root) , або розв'язком (розв'язок - solution).

Наприклад: 

а) 3х = 21; х = 7 - корінь рівняння, оскільки 3 • 7 = 21 (правильна рівність);

б) 0,8 + х = 0,5; х = -0,3 - корінь рівняння, оскільки 0,8 + (-0,3) = 0,5 (правильна рівність);

в) рівняння 5 : х = 0 не має коренів (ділити на 0 не можна, а при діленні числа 5 на інші числа в частці не буде 0).

Розв'язати (solve) рівняння - це означає знайти всі його розв'язки або показати, що їх не існує.

Завжди правильні такі основні властивості рівнянь:

1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Рівняння виду ax+b називається лінійним рівнянням (лінійне рівняння - linear equation) із змінною х. Числа a,b - коефіцієнти (коефіцієнт - coefficient) даного рівняння; a - коефіцієнт при змінній x, b - вільний член рівняння.

Якщо a≠0, то рівняння ax+b називають рівнянням першого степеня з однією змінною (рівняння першого степеня - simple equation).